Моделирование в нечеткой среде
Общие сведения
Моделирование в нечеткой среде представляет собой направление системного анализа и прикладной математики, предназначенное для формализации и исследования объектов, процессов и явлений, описание которых в рамках классической детерминированной логики или строгих линейных задач оказывается невозможным или избыточно упрощенным. В естественных ситуациях, а также при использовании естественного языка, информация зачастую характеризуется высокой степенью неопределенности, размытостью границ и многозначностью. Традиционные математические подходы требуют от объектов абсолютной четкости, что при описании гуманитарных, социальных или сложных технических систем является методологически некорректным. Для преодоления этого ограничения применяется математический аппарат теории нечетких множеств.
Фундаментальным понятием данного аппарата является нечеткое множество. В отличие от классического множества, где элемент либо принадлежит ему, либо нет, нечеткое множество на универсальном множестве определяется как совокупность пар, состоящих из самого элемента и числового значения, отражающего степень его принадлежности к данному множеству. Как правило, степень принадлежности выражается вещественным числом в диапазоне от нуля до единицы, где ноль означает полное отсутствие принадлежности, единица — абсолютную принадлежность, а промежуточные значения — частичную принадлежность. Например, в социологии и этнографии национальная или культурная идентичность индивида может рассматриваться как нечеткое множество, элементы которого отражают различные степени принадлежности к тем или иным этническим группам.
Для вычисления степени принадлежности произвольного элемента из универсального множества к нечеткому множеству вводится понятие функции принадлежности. Данная функция позволяет математически строго описать качественные понятия естественного языка. Характерным примером является лингвистическая конструкция «человек среднего роста». В объективной реальности не существует единственного точного значения, определяющего «средний рост», однако с помощью функции принадлежности можно установить, что значение 160 сантиметров обладает степенью принадлежности 0,5, в то время как 170 сантиметров уже приближается к нулю для данной категории. Таким образом, функция принадлежности переводит размытые вербальные оценки в точный числовой формат.
Классификация
В рамках моделирования в нечеткой среде объекты и переменные классифицируются по степени их формализации и лингвистической природе. Ключевым элементом выступает лингвистическая переменная — переменная, значениями которой являются не числа, а слова или фразы естественного либо искусственного языка. Совокупность всех возможных значений конкретной лингвистической переменной образует терм-множество, а каждый отдельный элемент этого множества называется термом. Например, для лингвистической переменной «настроение» терм-множеством будет выступать набор состояний, таких как «плохое», «среднее», «хорошее» или «великолепное», где каждое из этих слов является отдельным термом.
Нечеткие множества классифицируются по значениям их функции принадлежности. Множество признается нормальным, если его высота (максимальное значение функции принадлежности) равна единице, то есть в универсальном множестве существует хотя бы один элемент, абсолютно точно принадлежащий к данному нечеткому множеству. Если же максимальное значение степени принадлежности строго меньше единицы, такое множество классифицируется как субнормальное. Существуют математические операции нормализации, позволяющие преобразовывать субнормальные множества в нормальные путем масштабирования их функций принадлежности.
По геометрическим и топологическим свойствам нечеткие множества разделяются на выпуклые и невыпуклые. В классической геометрии множество точек признается выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две его точки, целиком лежит внутри этого множества. Для нечетких множеств данное свойство формулируется через понятие альфа-сечений: нечеткое множество классифицируется как выпуклое тогда и только тогда, когда все его альфа-сечения представляют собой выпуклые множества. Графически функция принадлежности выпуклого нечеткого множества представляет собой кривую без локальных впадин.
Классификации также подлежат методы дефаззификации — процедуры преобразования нечеткого множества обратно в четкое число, необходимое для принятия окончательного решения. К основным методам относятся метод центра тяжести, расчет медианы, выбор наибольшего из максимумов, выбор наименьшего из максимумов, а также метод центра максимумов. Выбор конкретного метода зависит от специфики решаемой задачи и требуемой стратегии управления.
Свойства
Нечеткие множества обладают рядом специфических математических свойств, позволяющих осуществлять над ними строгие аналитические операции. Одним из базовых свойств является высота нечеткого множества, которая определяется как верхняя граница (супремум) его функции принадлежности. Для дискретного универсального множества высота представляет собой максимальное значение из всех степеней принадлежности его элементов.
Важнейшей характеристикой структуры нечеткого множества является его носитель. Носителем нечеткого множества называется четкое подмножество универсального множества, включающее в себя все элементы, степень принадлежности которых строго больше нуля. Если носитель является пустым, то и само нечеткое множество признается пустым. Понятие ядра нечеткого множества описывает другое четкое подмножество, состоящее исключительно из тех элементов, чья степень принадлежности в точности равна единице. Наличие ядра свидетельствует о том, что нечеткое множество является нормальным.
Для перехода от нечетких описаний к множеству четких границ применяется свойство альфа-сечения (или сечения уровня альфа). Альфа-сечение представляет собой четкое подмножество, в которое входят все элементы универсального множества, имеющие степень принадлежности к исходному нечеткому множеству больше или равную заданному пороговому значению альфа. Данное свойство позволяет отсекать малозначимые элементы и концентрировать анализ только на тех объектах, которые удовлетворяют определенному критерию достоверности.
Помимо свойств отдельных множеств, теория определяет свойства нечетких отношений. Нечеткое отношение на множестве рассматривается как нечеткое подмножество декартова произведения множеств. Оно отражает степень связи или зависимости между элементами различных систем. Носитель нечеткого отношения представляет собой классическое отношение на универсальном множестве, связывающее все пары элементов, для которых степень выполнения данного нечеткого отношения отлична от нуля.
Применение
Математический аппарат нечетких множеств находит широкое применение в теории принятия решений, проектировании интеллектуальных систем и моделировании сложных причинно-следственных связей. В задачах принятия решений ситуации часто характеризуются неполнотой данных или невозможностью достижения идеального результата. Использование нечеткой логики позволяет лицу, принимающему решение, алгоритмизировать стратегии выбора. В зависимости от выбранного метода дефаззификации система может генерировать консервативные решения (минимизация рисков при гарантированном результате) или агрессивные стратегии (поиск максимальной выгоды в условиях неопределенности).
Основой применения нечеткой логики в информационных и экспертных системах является нечеткая база знаний. Она представляет собой структурированную совокупность логических высказываний типа «Если..., то...», где как условия (антецеденты), так и следствия (консеквенты) сформулированы в терминах лингвистических переменных. Эти правила объединяются с использованием логических связок конъюнкции («И») и дизъюнкции («ИЛИ»). Такая архитектура позволяет моделировать причинно-следственные связи реального мира, которые невозможно описать строгими дифференциальными уравнениями.
Процесс функционирования систем, построенных на таких базах, называется нечетким логическим выводом. Он представляет собой алгоритмическую аппроксимацию зависимостей между входами и выходами системы с использованием операций над нечеткими множествами. Данный подход позволяет техническим и программным комплексам адекватно воспринимать качественные оценки из окружающей среды, обрабатывать их по законам математической логики и выдавать точные управляющие воздействия. Моделирование в нечеткой среде выступает критически важным инструментом для интеграции гуманитарных и естественно-научных знаний, переводя субъективные вербальные конструкции в объективную форму, доступную для компьютерного анализа и автоматизированного управления.
См. также
Принципы и методы системного анализа Проектирование систем Смотреть видео