Модели операций
Общие сведения
В теории систем и исследовании операций математические модели рассматриваются как наиболее точные инструменты формализации и оптимизации процессов. Базовой концепцией в данной сфере выступает общая задача математического программирования. Суть этой задачи заключается в нахождении минимума или максимума определенной скалярной функции на заданном множестве. В экономическом и производственном контексте эта функция выражает необходимость минимизации затрачиваемых ресурсов (например, оплаты труда, сырья, времени) или максимизации получаемой прибыли.
Оптимизируемая функция носит название целевой функции. Значения, которые могут принимать переменные в рамках конкретной системы, формируют допустимое множество. Любая точка, принадлежащая этому множеству, называется допустимой точкой. Формирование допустимого множества обусловлено наличием ограничений — системы математических равенств и неравенств, которые отражают реальные лимиты предприятия, такие как объем доступного сырья, производственные мощности или жесткие требования заказа. Точка, в которой целевая функция достигает своего наилучшего (минимального или максимального) значения при строгом соблюдении всех ограничений, называется оптимальной точкой, а соответствующий ей набор параметров — оптимальным планом.
Классификация
В зависимости от математической природы целевой функции и наложенных ограничений, общая задача математического программирования подразделяется на несколько самостоятельных классов.
Задача линейного программирования представляет собой наиболее изученный и широко применяемый тип моделей, в которых как целевая функция, так и все уравнения ограничений имеют строго линейный характер. Задача нелинейного программирования возникает в тех случаях, когда математические зависимости между параметрами системы описываются нелинейными функциями.
Задача квадратичного программирования выделяется в ситуациях, когда целевая функция является квадратичной, при этом система ограничений может оставаться как линейной, так и нелинейной. Задача сепарабельного программирования описывает модели, в которых оптимизируемая целевая функция может быть представлена в виде суммы нескольких отдельных функций, каждая из которых зависит только от одной независимой переменной (ограничения также могут быть линейными или нелинейными).
Особый класс составляет задача целочисленного программирования. Она применяется в условиях, когда оптимизируемая функция является выпуклой, ограничения имеют вогнутый характер, а итоговое решение имеет смысл только в виде целых чисел (что критически важно при распределении неделимых объектов, таких как штатные единицы персонала или единицы оборудования).
Свойства
Модели операций, в частности модели линейного программирования, обладают рядом специфических аксиоматических свойств. Важнейшим экономико-математическим свойством является делимость. Данный принцип подразумевает, что все количественные показатели модели могут пропорционально увеличиваться или уменьшаться. Например, если для производства десяти единиц продукции требуется определенное количество человеко-часов, то для выпуска двадцати единиц потребуется ровно в два раза больше аналогичного ресурса. Вторым фундаментальным свойством выступает аддитивность, означающая, что общее количество любого потребленного ресурса в системе в точности равно сумме объемов этого же ресурса, затраченных на каждый отдельный технологический процесс.
Геометрически свойства линейной модели интерпретируются в многомерном пространстве. Совокупность линейных ограничений формирует выпуклый многогранник, внутреннее пространство и границы которого представляют собой допустимое множество решений. Целевая функция графически представляется как прямая или плоскость, перемещающаяся в этом пространстве. Фундаментальным свойством такой геометрической модели является то, что свой абсолютный минимум или максимум целевая функция всегда достигает исключительно в одной из угловых точек (вершин) этого многогранника. Если оптимальное значение достигается более чем в одной вершине, оно будет неизменным в любой точке отрезка, соединяющего эти вершины.
Применение
Модели операций находят широкое практическое применение в решении задач производственного планирования. Главная цель такого моделирования — определить оптимальный набор интенсивностей различных технологических процессов (например, загрузку станков), который позволит выполнить плановые задания и максимизировать суммарный доход предприятия, не выходя за рамки доступных ресурсов. Параллельно с основной задачей всегда может быть сформулирована двойственная задача производственного планирования. Если основная задача направлена на максимизацию прибыли, то двойственная задача заключается в поиске таких расчетных оценок всех участвующих в процессе ингредиентов и ресурсов, при которых суммарная стоимостная оценка затрат будет минимальной.
Частным случаем производственного планирования выступает задача распределения ресурсов. Она применяется на предприятиях, выпускающих неоднородную продукцию, для определения оптимальных уровней производства каждого товара в течение заданного времени с учетом ограничений по трудозатратам и материалам.
Для решения сформированных математических моделей применяются различные вычислительные алгоритмы. Теоретически возможно использование метода простого перебора всех допустимых точек и вершин многогранника с вычислением значения целевой функции в каждой из них, однако на практике этот путь слишком трудоемок из-за огромного количества комбинаций. В реальных вычислительных комплексах применяются итеративные методы направленного поиска, опирающиеся на последовательное улучшение плана, а также метод Гаусса для точного решения систем линейных уравнений, формирующих границы оптимальных состояний.
См. также
Моделирование в нечеткой среде Принципы и методы системного анализа Смотреть видео