Альфред Тарский
Альфред Тарский (польск. Alfred Tarski, урождённый Альфред Тайтельбаум; 14 января 1901, Варшава — 26 октября 1983, Беркли, Калифорния) — выдающийся польско-американский математик, логик и философ. Один из крупнейших логиков XX века, основатель формальной теории истинности и создатель семантической концепции истины. Представитель Львовско-Варшавской школы, член-корреспондент Британской академии (1966). Его работы по логике, теории множеств, теории моделей и семантике оказали огромное влияние на развитие математической логики, философии языка и методологии науки.
Биография
Происхождение и ранние годы
Альфред Тарский родился в обеспеченной семье польских евреев Игнаца Тайтельбаума и Розы Пруссак. Склонность к математике впервые проявилась в школе, однако в 1918 году он поступил в Варшавский университет с намерением изучать биологию. В тот год Польша, остававшаяся до того под властью Российской империи, стала независимым государством, и Варшавский университет приобрёл столичный статус.
Представленный Яном Лукасевичем, Станиславом Лесьневским и Вацлавом Серпинским, университет быстро вышел в мировые лидеры по логике, основаниям математики и философии математики. Математический талант Тарского был открыт Лесьневским, который отговорил молодого Альфреда от биологии в пользу математики. Позднее под его руководством Тарский пишет диссертацию, и в 1924 году получает степень доктора философии, став самым молодым доктором за историю Варшавского университета.
В 1923 году Альфред вместе со своим братом Вацлавом приняли христианство и сменили фамилию на «Тарский». Эта фамилия была выбрана, потому что была простой, не очень распространённой и звучала по-польски. Тарский старался не афишировать своё еврейское происхождение, так как идентифицировал себя как поляк и стремился быть воспринятым таковым.
Карьера в Польше
После защиты диссертации Тарский остался работать преподавателем в университете, ассистируя Лесьневскому. За это время он опубликовал серию работ по логике и теории множеств, принёсших ему мировую известность. В 1929 году Тарский женился на Марии Витковской, с которой у них родились двое детей: Ина и Ян.
В августе 1939 года он отбыл в США для участия в научном конгрессе, по счастливой случайности как раз незадолго до вторжения германских войск в Польшу. Это обстоятельство спасло ему жизнь — за время войны почти все члены его семьи, оставшиеся в Польше, включая родителей и брата, погибли от рук нацистов.
Жизнь в США
Не имея иного выбора, кроме как остаться в Соединённых Штатах, Тарский временно устроился в Гарвардский университет, затем сменил ещё несколько мест работы в различных университетах Америки, пока не получил в 1948 году профессорскую вакансию в Калифорнийском университете в Беркли, где оставался работать до самой смерти. Здесь он создал свою знаменитую школу и заслужил среди учеников репутацию строгого и очень требовательного руководителя. За свою жизнь Тарский подготовил в общей сложности 24 доктора философии, среди которых такие известные имена как Анджей Мостовский, Юлия Робинсон, Соломон Феферман, Ричард Монтегю, Роберт Воут, а также авторы знаменитой книги «Теория моделей» Джером Кейслер и Чен-Чунь Чен.
Вклад в математику
Семантическая концепция истины
Наиболее известным результатом Тарского является разработанная им семантическая концепция истинности, изложенная в работе «Понятие истины в языках дедуктивных наук» (1933, на польском языке; 1935 — на немецком). Эта концепция стала важнейшим вкладом в логическую семантику, философию языка и философию науки.
Основой семантической теории истины является T-схема (Конвенция Т):
- «X» истинно тогда и только тогда, когда p,
где «X» — имя предложения p на объектном языке. Например: высказывание «снег белый» верно тогда и только тогда, когда снег белый.
Тарский показал, что для любого формализованного языка можно определить предикат истинности, используя выражения метаязыка. Главное условие точного определения истины — критерий материальной адекватности, который отражает оправданность всякого использования предиката «истинно». Чтобы избежать парадоксов, Тарский предложил различать язык и метаязык (язык, в котором выражается теория истины для объектного языка). Метаязык должен быть существенно богаче, чем объектный язык.
Тарский также доказал теорему о невыразимости истины (1936), которая гласит, что понятие арифметической истины не может быть выражено средствами самой арифметики. Эта теорема применима к любой достаточно сильной формальной системе, например, к системе аксиом арифметики Пеано.
Теория моделей и разрешимость
Тарскому принадлежит целый ряд результатов относительно разрешимости и неразрешимости формальных теорий в логике первого порядка. Его наиболее известными позитивными результатами в этом направлении являются:
- Теоремы о разрешимости действительной линейной арифметики — им был разработан и успешно применён метод элиминации кванторов, который стал одним из основных методов доказательства разрешимости теорий первого порядка.
- Теоремы о разрешимости элементарной евклидовой геометрии — Тарскому пришлось разработать собственную аксиоматизацию евклидовой геометрии, которая оказалась более удачной, чем ранее известная аксиоматизация Гильберта.
Негативные результаты по разрешимости были суммированы в 1953 году в работе «Неразрешимые теории» (совместно с А. Мостовским и А. Робинсоном), где была показана неразрешимость теории решёток, проективной геометрии и теории алгебр с замыканием.
Теория множеств и парадокс Банаха — Тарского
Большое влияние оказали работы Тарского в теории множеств. В 1924 году совместно со Стефаном Бахом он открыл парадокс Банаха — Тарского, который сводится к следующему: из шара в евклидовом пространстве можно путём операций разрезания и склейки получить два шара, по объёму равных исходному. Объяснение парадокса состоит в том, что понятие объёма не может быть адекватно истолковано для произвольных множеств, а именно такие «множества без объёма» временно возникали в процессе построения. Парадокс имел большое значение для развития теории меры.
Логическое следование
В 1936 году Тарский опубликовал классическую статью «О понятии логического следования», в которой предложил теоретико-модельное определение логического следования. Согласно этому определению, предложение A логически следует из множества предложений X, если A истинно во всех моделях, в которых истинны все предложения из X. Это определение стало стандартным в математической логике. Однако в 1966 году Тарский предложил модификацию этого понятия, основанную на различении логических и нелогических терминов.
Философские взгляды
Метафизическая нейтральность
Семантическая концепция истины Тарского является метафизически нейтральной: она не принуждает занять какую-либо позицию в споре между корреспондентной, когерентной или прагматической теориями истины. Тарский лишь предлагает способ, посредством которого истина характеризуется через отношение к некоторому формальному языку. В философском отношении определение оказывается нейтральным — единственное, что утверждается в схеме Т, состоит в том, что если где-либо и когда-либо предложение «р» оказалось принятым, то одновременно с этим должно быть принято и предложение «х истинно».
Экспликация vs философское объяснение
Многие философы, включая Хилари Патнэма, ставили под сомнение философскую ценность теории Тарского. По их мнению, теория Тарского представляет собой классическую экспликацию интуитивного понятия истины, которая пригодна для научных целей, но не даёт содержательного философского объяснения. Как философское объяснение истины теория Тарского оказалась неудачной. Тарский заменил интуитивное понятие точной концепцией, которая пригодна для научных целей, но не отвечает на традиционные философские вопросы о природе истины.
Отношение к традиционным концепциям истины
В философской литературе существует путаница по поводу того, представляет ли теория Тарского уточнение корреспондентной концепции истины, когерентной концепции, или же она является нейтральной в отношении всех классических концепций. Сам Тарский считал, что его концепция уточняет классическое аристотелевское понимание истины как согласия с действительностью, однако формализация этого понятия не даёт ответа на вопрос о том, что такое «соответствие» или «действительность».
Основные труды
- «Понятие истины в языках дедуктивных наук» (Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych, 1933)
- «О понятии логического следования» (Über den Begriff der logischen Folgerung, 1936)
- «Введение в логику и методологию дедуктивных наук» (Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences, 1941; рус. пер. 1948)
- «Неразрешимые теории» (Undecidable Theories, 1953, совместно с А. Мостовским и А. Робинсоном)
- «Собрание сочинений» (Collected Papers, 1981–1986)